MODULATION NUMERIQUE QPSK

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 Avertissement : La littérature sur les transmissions numériques est abondante. On y trouve la théorie complexe et difficile, avec son arsenal mathématique d'intégrales et de probabilités. A l'opposé, on y trouve des schémas synoptiques très simplifiés et peu commentés. Enfin, de nombreux articles traitent des procédés de modulation/démodulation (boucle de costas entre autre) en indiquant, à coup d'analyses mathématiques et simultations poussées, les impacts de telles ou telles imperfections sur le résultat.

Pour les étudiants (et les autres), il manque malheureusement le maillon qui permet de faire le lien entre la théorie et la pratique.

Ce texte, sans prétention (car encore très loin de la complexe réalité des choses mais copyright) a nécessité de longues heures de mise au point tout comme la manipulation qui s'y réfère. Les explications (expurgées de formules mathématiques indigestes) vous aideront, je l'espère, à ébaucher ce lien.

A)    BUT DE LA MANIPULATION

 

On propose d'étudier les principes de base de modulation permettant de transmettre des signaux numériques sur une porteuse. Ces procédés sont abondamment utilisés dans le domaine des  faisceaux hertziens et  téléphonie cellulaire.

Liaison numérique simplifiée

 

Au cours du TP, on s'intéressera particulièrement aux fonctions embrouillage et  modulateurs/démodulateurs classiques. Pour des raisons de simplicité les fréquences (455 Khz) et débits de travail (10 Kbits) sont bien inférieurs à ceux utilisés dans la réalité. Mais les principes restent bien entendu valables.

 

B)    RAPPEL DES NOTIONS DE BASE ET PRINCIPALES DEFINITIONS

 

La transmission de signaux numériques fait appel à quelques notions de base qui sont rappelées ci-après :

 

Débit binaire :  D= 1/Tb  où Tb est la durée d'un bit en seconde

 

Taux d'erreur bits : TEB  =

 

Efficacité spectrale  : h = D/B =

 

L'efficacité spectrale s'exprime en bit/s/Hz . Elle caractérise la capacité d'une modulation à "passer" un débit maximum dans une largeur de canal minimum.  Elle  est comprise entre 2 et 8 pour des modulations dites performantes.

 

 

Fréquence intermédiaire (FI) :  Fréquence interne à l'émetteur  et au récepteur servant de support à la modulation. Le signal modulé FI est ensuite transposé à une fréquence HF porteuse pour émission réception hertzienne.

Pour des questions de simplicité, la fréquence intermédiaire est de 455KHz dans la manipulation proposée. En réalité sa valeur peut être de 70 ou 140 MHz voir plus dans les faisceaux hertziens numériques. Plus cette fréquence est élevée, plus le débit binaire transmissible sera important.

 

Interférence intersymbole : Elle caractérise la qualité de la liaison et l'aptitude du récepteur à discriminer les 0 et les 1 après une transmission qui a altéré et déformé les bits.

 

Les modulations  numériques : Elles sont utilisées pour des liaisons hertziennes uniquement. Par opposition aux  transmissions par fibre optique qui s'effectuent, elles, en base de base (signal numérique non modulé).

 

Comme pour les modulations analogiques, trois possibilités sont offertes :

 

a) Modulation d'amplitude ASK

b) Modulation de fréquence FSK

c) Modulation de phase PSK

Nous nous intéresserons ici au troisième type de modulation.

 

C)    RAPPELS SUR LA MODULATION NUMERIQUE BPSK

 

1)      Principe

 

La modulation BPSK (Binary Phase Shift Keying) est une modulation de phase à 2 états de la fréquence intermédiaire par un signal numérique sérialisé. (Il ne s'agit, ni plus ni moins, que d'une modulation d'amplitude sans porteuse avec un signal modulant particulier à 2 niveaux...)

            Comme il n'y a, à priori, aucune relation de phase et de fréquence entre la FI et le signal modulant, on synchronise celui-ci sur la FI par une simple bascule D. Après une translation de niveau (centrage sur 0V), le signal modulant synchronisé et la FI sont appliqués à un multiplieur.

Schéma de principe modulateur BPSK

 

Ceci permet d'obtenir un signal modulé avec deux états de phases 0 et p. Le changement de phase s'effectue alors au passage à zéro de la FI. Cela a un effet bénéfique sur le spectre (transitions moins violentes)Sans la synchronisation préalable du signal NRZ, les changements de phase interviendraient de façon aléatoire par rapport au signal porteur et rendraient l'observation à l'oscilloscope plus difficile.Cette synchronisation n'est pas indispensable d'un point de vue fonctionnel

Signal modulé BPSK

Spectre du signal modulé BPSK

 

 

Remarques :

1)      Si le procédé de modulation apparaît relativement simple à mettre en œuvre, l'efficacité spectrale reste très faible (≤1) et ne permet pas d'envisager des liaisons haut débits.

2)      On retrouve une allure de spectre NRZ en :

3)      Mais l'absence d'énergie à la fréquence FI oblige à une reconstruction de celle-ci dans le démodulateur de réception.

 

4)      90% de l'énergie du signal est contenue dans le premier lobe. On limite donc généralement la largeur de canal à ce premier lobe.

 

 

D) MODULATION I,Q 4 états de phase (QPSK)

 

1)      principe

 

Deux signaux FI en quadrature sont générés à partir d'un oscillateur local à la fréquence quadruple. Le train de donnée binaire est séparé en deux "sous trains" appelés I et Q (cf détails paragraphe suivant). La paire de valeur (ou doublet) constitue ce que l’on appelle un symbole.

Pour des considérations électroniques, les signaux I et Q sont centrés sur 0V. On peut donc considérer que I et Q prennent symboliquement deux niveaux +1, -1 correspondant aux états binaires.

 

Chacun attaque un multiplieur. Le résultat de chaque multiplication est sommé en sortie de façon à obtenir un signal modulé vs(t) :

 

Vs(t) = I coswt +Q sinwt

Schéma de principe modulateur QPSK

 

Les état de phases du signal modulé se représentent en coordonnés polaires dans le plan I, Q. Suivant les combinaisons de I et Q,  on obtient alors un diagramme que l'on apppelle communément constellation. Le schéma ci-dessous montre les constellations de la modulation BPSK et QPSK.

Constellations comparées BPSK (  point blanc)   et  QPSK  ( point noir )

 

Remarque : La constellation  peut directement être visualisée en utilisant un instrument de mesure particulier : l'analyseur vectoriel  (ou dit "de constellation") par ex : E4443 Agilent

 

2)      Principe du générateur  pseudo aléatoire de train binaire I,Q

 

Pour simuler le flux de donnée binaire sérialisé à transmettre, on utilise un générateur dit « pseudo aléatoire » réalisé sur le principe du polynôme générateur  (cf. cours P.Kadionik). Il suffit de faire compter un compteur composé de n bascules D  en "désordre"... En choisissant correctement les sorties utilisées pour le re-bouclage  à travers le "ou exclusif", on peut générer une séquence de longueur maximale 2ⁿ-1 bits. Sur la maquette, l’embrouilleur/désembrouilleur est implanté dans un FPGA Xilinx 8572.

 

 

L'exemple ci après montre un générateur simple utilisant 4 bascules D. Attention, pour fonctionner, toutes les bascules doivent être correctement initialisées...

Générateur de séquence pseudo aléatoire 15 bits

 

Remarque : En généralisant ce principe, on peut obtenir des séquences beaucoup plus longues. Sur la carte du TP, on propose au choix une séquence de 15 ou 217 bits.

 

Dans le TP, la carte générateur aléatoire est utilisée uniquement pour fournir une séquence de test  aux modulateurs et vérifier les spectres émis. En réalité, sa fonction est multiple : génération de CRC (code correction d'erreur) et embrouillage notamment. (CDM utilisé pour la norme UMTS).

 

2)      Génération des trains I et Q

 

A partir du train de données arrivant en série, on crée deux trains I  (In phase) et Q (Quadrature)  suivant le principe ci-dessous :  les bits impairs sont envoyés sur la voie I et les bits pairs sur la voie Q.

Génération des trains I,Q

 

Un schéma de réalisation pratique est donné ci après.

Génération des trains I,Q  

Cette séparation en deux voies fait que le débit de chaque voie I, Q  est divisé par 2 par rapport à celui du signal série entrant.

 

Cette propriété a une action  intéressante sur le spectre émis : en effet,  cela revient a diminuer artificiellement  par 2 le débit binaire,  et donc doubler l'efficacité spectrale ;  Pour une même quantité d'information transmise, la largeur de canal est réduite de moitié par rapport à la modulation BPSK. (1/Tb au lieu de 2/Tb)

 

Spectre du signal modulé QPSK

Plus généralement : A chaque fois que le nombre d'états de phase augmente pour un même débit binaire, la largeur de canal se réduit. Cependant, l'augmentation du nombre d'état de phase entraine une complexité accrue du système de modulation et de démodulation.

 

Remarque : Comme pour la manipulation BPSK, les données I et Q sont synchronisées avec la porteuse. Cela n'a rien d'obligatoire (et est même nuisible car apporte une gigue sur la largeur des bits) mais facilite simplement l'observation à l'oscilloscope, les commutations se faisant alors toujours au même moment par rapport à la porteuse.

3)      Réduction de la largeur de canal utile

 

            Sans filtrage des trains I et Q, le spectre en sinus cardinal s’étend en théorie à l’infini. Pour réduire la bande passante occupée, les trains I et Q  sont filtrés avant d’attaquer les multiplieurs : le "rognage des coins" permet de rendre le train  plus "rond" donc moins riche en harmonique.

            Un filtre gaussien, synthétisé numériquement par DSP, est en général utilisé. Il  transforme une impulsion carrée en impulsion gaussienne dont le spectre est lui même gaussien. Ainsi, les lobes secondaires sont pratiquement supprimés tout en assurant un  temps de propagation de groupe constant (phase linéaire en fonction de f dans la bande passante).

            On peut également utiliser un filtre de « bessel amélioré » à phase linéaire ou en cosinus surélevé dont les réponses sont très voisines de celle d’un gaussien et plus facilement synthétisable analogiquement. Ces filtres étant peu sélectifs par rapport aux butterwoth, chebytcheff etc, il est nécessaire de travailler avec des ordres élevés (>6)

            Seuls ces types de filtres permettent de réduire la bande occupée tout en minimisant l’interférence inter symbole (cf diagramme de l'œil).

 

 

Fonction de bessel ordre 8 : module (trait plein)  et phase (trait pointillé)

                                                                                                                               

            Le filtre utilisé ici est un filtre LTC1164-7 d’ordre 8 dont le principe est donné ci dessous.

 

Principe d’un filtre à phase linéaire

 

            Une ligne à retard pilotée par une horloge externe, constituée de cellules  (interrupteur MOS-condensateur) cascadées, décale les échantillons de tension d’entrée d’une période horloge Te à chaque coup d’horloge. L’AOP réalise une somme pondérée des échantillons successifs. On montre que, s’il y a 2n cellules, l’argument de la fonction de transfert Vs/Ve est de la forme :

                                                           Arg (Vs/ve)=  –n.Te.w.

et le module :

  R/R0 +  

Ainsi, la phase est linéaire et la fréquence de coupure du filtre est fixée par la fréquence de l’horloge externe.

On peut également utiliser un filtre LTC 1069-7 en cosinus surélevé dont l’équation est :

 

       pour wc(1-a)<w<wc(1+a)

H(w) = 1                                             pour w< wc(1-a)

 

H(w) =0                                              pour w>wc(1+a)

 

Avec a facteur de roll off compris entre 0 et 1

Et wc fréquence de coupure égale à la moitié du débit binaire

 

Ce qui se traduit par la réponse fréquentielle ci dessous :

 

Réponse théorique d’un filtre en cosinus surélevé

Le lobe principal est conservé sans altération. Les lobes secondaires sont quasiment supprimés

·        Vérifier le diagramme de l’œil sur une voie. Faire varier le débit binaire par rapport àl a fréquence de coupure des filtres et observer la plus ou moins grande ouverture de l’œil (interférence intersymbole)

E) DEMODULATION I,Q (QPSK)

 

1)      Démodulateur cohérent

 

En supposant que l'on dispose à la réception d'un oscillateur local synchronisé en fréquence et en phase avec la fréquence émise, V_ol =  A cos(wt),  on peut régénérer les trains I et Q de manière similaire à celle utilisée en BPSK. Le raisonnement se fait en utilisant les formules trigonométriques.

 

Schéma de principe démodulateur QPSK

 

Le signal entrant sur le démodulateur est de la forme :

Ve(t) = I coswt +Q sinwt

 

En sortie du multiplieur de la branche du bas (voie I), on récupère :

 

A cos(wt).[ I coswt +Q sinwt]

Soit :

A.[1/2.I.(1+cos 2wt) + Q. (1/2.sin(2wt)+0)]

 

C’est à dire,  après filtrage passe bas de la composante à 2w : ½.A.I.

 

La voie I récupérée représente en quelque sorte,  la projection sur l’axe horizontal de la constellation :

+ 1/2 A. cos(p/4)  pour les 2 points de droite

ou

-1/2 A.cos (p/4)   pour les 2 points de gauche

 

En sortie du multiplieur de la branche du haut (porteuse en quadrature), on récupère :

 

A sin(wt).[ I coswt +Q sinwt]

 

Soit :

A .[1/2.I.(0+sin2wt)+1/2.Q.(1 –cos 2wt)]

 

C’est à dire,  après filtrage passe bas de la composante à 2w : ½.A.Q

 

La voie Q récupérée représente en quelque sorte,  la projection sur l’axe vertical de la constellation :

+ 1/2 A. sin(p/4)  pour les 2 points du haut

ou

-1/2 A. sin(p/4)  pour les 2 points du bas

 

Il « ne reste plus »  qu’à recombiner les deux trains en un seul pour reconstituer le signal sérialisé transmis.

 

2) Récupération de la porteuse FI (carrier recovery)

 

Cette démodulation implique que l’on dispose de la porteuse FI reconstituée en fréquence et en phase. On peut récupérer cette porteuse, comme dans le cas de la BPSK par élévation à la puissance 4 (au lieu de 2),(2^M dans cas général où M est le nombre d’états possibles).

 

Avec la première élévation au carré, on récupère après élimination de la composante continue par filtrage passe haut, un terme pur en 2wt. Après la seconde élévation au carré on obtient, après filtrage passe-haut, un terme pur en 4wt. Une division par 4 redonne alors la fréquence porteuse… Avec une ambiguïté de phase de 90°…(2p/4)

 

2.1) Principe de la boucle de costas

            Une autre possibilité est la mise en œuvre de la fameuse boucle de Costas  (1956) dont le synoptique est donné ci après :

Boucle de Costas

 

Le fonctionnement d’une telle boucle est complexe mais on peut le décrire sommairement. Il s’agit d’une boucle à verrouillage de phase double qui assure la régénération de la porteuse sans écart de phase.

 

Le signal entrant sur le démodulateur est de la forme Ve(t) = I coswt +Q sinwt

 

 

Supposons l’oscillateur réception calé sur la fréquence porteuse mais pas exactement en phase, avec le signal reçu : on peut écrire V_ol =  A cos(wt+f),  L’objectif de la boucle est de réduire à zéro cet écart, pour se trouver dans les conditions de démodulation cohérente comme indiqué en 1).

 

Pour comprendre l’impact de f, il suffit de reprendre le calcul trigonométrique effectué précédemment en  1) et en injectant f dans les équations.

 

·        En sortie du multiplieur de la branche du bas, on récupère :

 

A cos(wt+ f ).[ I coswt +Q sinwt]

 

Soit après filtrage passe bas  sur la voie I :

 

A.I/2 .cos f – A.Q/2 .sin f [1]

 

·        En sortie du multiplieur de la branche du haut , on récupère :

 

A sin(wt+ f ).[ I coswt +Q sinwt]

 

Soit après filtrage passe bas  sur la voie Q :

 

-A.I/2 .sin f + A.Q/2 .cos f [2]

 

 

            En supposant f petit, et en utilisant le développement limité des fonctions trigonométriques, il vient :

 

·        Pour la voie I

A/2.I (cos f - Q/I. tg f)

Soit :

A/2.I (1-f²/2-(Q/I).f)

·        Pour la voie Q  

A/2.Q(cos f + I/Q. tg f)

Soit :

A/2.Q(1-  f²/2 + I/Q. f)

 

            

            Selon les valeurs émises possibles du doublet I,Q, on peut rassembler les valeurs prises en sortie sur les voies I et Q :

 

 

(*) Remarques :

 

            - Lorsque que f tend vers zéro, on retrouve bien la situation de la démodulation parfaite

            - lorsque f n’est pas nul (non synchronisation), il provoque une altération de l’amplitude  des voies I et Q  jusqu’à entraîner une confusion  possible des niveaux ‘1’ et ‘0’.
Cette confusion est maximale lorsque f atteint p/4.

 

Après multiplication croisée d’une voie par le signe de l’autre,

 

{signe (voie I)x Voie Q } et {signe (voie Q) voie I}

 

On obtient, tant que f petit, et pour les quatre valeurs du symbole (ou doublet I,Q) possibles :

 

 

Et la tension d’erreur Vd s’exprime par :

 

Vd = {signe (voie I) x Voie Q } - {signe (voie Q) x voie I}

 

I	Q	Tension  d’erreur Vd
+1	-1	A/2. [-I.(1+f-f2/2)- Q.(1-f-f2/2)]
-1	+1	A/2. [+I.(1+f-f2/2)+ Q. .(1-f-f2/2)]
+1	+1	A/2.[I.(1-f-f2/2)-Q.(1+f-f2/2)]
-1	-1	A/2.[-I.(1-f-f2/2)+Q.(1+f-f2/2)]

 

Soit finalement en remplaçant I et Q par leur valeurs dans chaque expression :

 

 

 

 

            La tension d’erreur Vd est donc en permanence, proportionnelle au déphasage sous réserve que f reste petit (compris environ entre –p/4 et +p/4). On peut montrer en fait que Vd=f(f) est une fonction est p/2 périodique.  La boucle peut donc s’accrocher avec une ambiguïté de phase modulo p/2 et donc provoquer une confusion ou une inversion sur les trains I et Q récupérés. La levée d’ambiguïté de phase nécessite l’envoi d’un préambule lors de l’initialisation de la liaison. Ceci n’est pas traité dans le T.P.

 

            Comme dans une PLL classique, la tension Vd commande, à travers un filtre de boucle, un oscillateur contrôlé et tension  (VCO) qui s’ajustera afin de maintenir f à zéro. Notre VCO fonctionne ici à 8x455kHz.

 

(*) Remarques :